有限元法在機械設(shè)計中的應(yīng)用(A4)
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- 有限元法在機械設(shè)計中的應(yīng)用(A4) 有限元法的基本思想是將結(jié)構(gòu)離散化，用有限個容易分析的單元來表示復(fù)雜的對象，單元之間通過有限個節(jié)點相互連接，然后根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件綜合求解。由于單元的數(shù)目是有限的，節(jié)點的數(shù)目也是有限的，所以稱為有限元法(FEM，F(xiàn)inite Element Method)。 有限元法是最重要的工程分析技術(shù)之一。它廣泛應(yīng)用于彈塑性力學、斷裂力學、流體力學、熱傳導等領(lǐng)域。有限元法是60年代以來發(fā)展起來的新的數(shù)值計算方法，是計算機時代的產(chǎn)物。雖然有限元的概念早在40年代就有人提出，但由于當時計算機尚未出現(xiàn)，它并未受到人們的重視。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，有限元法在各個工程領(lǐng)域中不斷得到深入應(yīng)用，現(xiàn)已遍及宇航工業(yè)、核工業(yè)、機電、化工、建筑、海洋等工業(yè)，是機械產(chǎn)品動、靜、熱特性分析的重要手段。早在70年代初期就有人給出結(jié)論：有限元法在產(chǎn)品結(jié)構(gòu)設(shè)計中的應(yīng)用，使機電產(chǎn)品設(shè)計產(chǎn)生革命性的變化，理論設(shè)計代替了經(jīng)驗類比設(shè)計。目前，有限元法仍在不斷發(fā)展，理論上不斷完善，各種有限元分析程序包的功能越來越強大，使用越來越方便。 二、有限元法的孕育過程及誕生和發(fā)展 大約在300年前，牛頓和萊布尼茨發(fā)明了積分法，證明了該運算具有整體對局部的可加性。雖然，積分運算與有限元技術(shù)對定義域的劃分是不同的，前者進行無限劃分而后者進行有限劃分，但積分運算為實現(xiàn)有限元技術(shù)準備好了一個理論基礎(chǔ)。 在牛頓之后約一百年，著名數(shù)學家高斯提出了加權(quán)余值法及線性代數(shù)方程組的解法。這兩項成果的前者被用來將微分方程改寫為積分表達式，后者被用來求解有限元法所得出的代數(shù)方程組。在18世紀，另一位數(shù)學家拉格郎日提出泛函分析。泛函分析是將偏微分方程改寫為積分表達式的另一途經(jīng)。 在19世紀末及20世紀初，數(shù)學家瑞雷和里茲首先提出可對全定義域運用展開函數(shù)來表達其上的未知函數(shù)。1915年，數(shù)學家伽遼金提出了選擇展開函數(shù)中形函數(shù)的伽遼金法，該方法被廣泛地用于有限元。1943年，數(shù)學家?guī)炖实碌谝淮翁岢隽丝稍诙x域內(nèi)分片地使用展開函數(shù)來表達其上的未知函數(shù)。這實際上就是有限元的做法。 所以，到這時為止，實現(xiàn)有限元技術(shù)的第二個理論基礎(chǔ)也已確立。 20世紀50年代，飛機設(shè)計師們發(fā)現(xiàn)無法用傳統(tǒng)的力學方法分析飛機的應(yīng)力、應(yīng)變等問題。波音公司的一個技術(shù)小組，首先將連續(xù)體的機翼離散為三角形板塊的集合來進行應(yīng)力分析，經(jīng)過一番波折后獲得前述的兩個離散的成功。20世紀50年代，大型電子計算機投入了解算大型代數(shù)方程組的工作，這為實現(xiàn)有限元技術(shù)準備好了物質(zhì)條件。1945~1955年，Argyris等人在結(jié)構(gòu)矩陣分析方面取得了很大的進展。1956年，Turner、Clough等人把鋼架位移法的思路，推廣應(yīng)用于彈性力學平面問題：他們把連續(xù)體劃分為三角形和矩形單元，單元中的位移函數(shù)采用近似表達式，推導單元的剛度矩陣，建立結(jié)合點位移與結(jié)合點力之間的單元剛度方程。1960年Clough首先將這種解決彈性力學的方法稱為“有限元法”。幾乎與此同時，我國的馮康也提出了類似的方法。此后，這樣的叫法被大家接受，有限元技術(shù)從此正式誕生，并很快風靡世界。[1] 三、FEM的計算方法： FEM方法作為一種技術(shù)更多的與FEM軟件的發(fā)展緊密的結(jié)合起來。某種主流軟件的FEM方法必然會一直朝該FEM方法的方向發(fā)展，只有當新的FEM方法比現(xiàn)有的FEM方法更加優(yōu)越時才會放棄現(xiàn)有的FEM方法，從而使FEM方法有較大的發(fā)展。因此目前的FEM方法仍然將統(tǒng)治現(xiàn)在的FEM世界。 當今主流的FEM軟件有德國的ASKA、英國的PAFEC、法國的SYSTUS、美國的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的產(chǎn)品。這些軟件所代表的方法有： COSMOS軟件使用的快速有限元算法（FFE）。在傳統(tǒng)有限元分析的數(shù)值計算方法之中，有直接計算法（Direct Solver）與迭代法（Iterative）兩種。由于在過去的經(jīng)驗中，迭代法一直無法直接而有效的保證數(shù)值計算的收斂性，快速有限元法是一種可以保證收斂性的迭代法，該方法計算速度也很快。 MARC軟件以Lagrange算法為主，兼有ALE和Euler算法；以顯式求解為主，兼有隱式求解功能。 ANSYS軟件有直接求解器，如波前求解器，可計算出線性聯(lián)立方程組的精確解。ANSYS程序還提供了一個有效的稀疏矩陣求解器，它既可用于線性分析，也可用于非線性分析。即要求求解精度又要求求解時間的靜態(tài)及瞬態(tài)分析中，該求解器可代替迭代求解器。稀疏矩陣求解器只能用于真正的對稱矩陣，與波前及其它直接求解器相比，稀疏矩陣求解器能顯著加速求解速度。
四、其他求解方法： 顯式/隱式有限元法：無需對剛度矩陣求逆，只需對質(zhì)量矩陣求逆，而質(zhì)量矩陣往往可以簡化為對角陣;沒有增量步內(nèi)迭代收斂問題，可以一直計算下去。隱式計算具有時間步長增量較大、每個荷載步都能控制收斂，避免誤差累積、存在迭代不收斂的問題、計算量隨計算規(guī)模增大而成超線性增長的特點。相對與隱式計算顯示計算具有時間步長很小、誤差累積、不存在迭代不收斂的問題、計算量隨計算規(guī)�；緸榫�性增長的特點。這種計算方法的代表軟件有ABQUS。 離散單元法：離散單元法也被稱為散體單元法，最早是1971年由Cundall提出的一種不連續(xù)數(shù)值方法模型，這種方法的優(yōu)點是適用于模擬節(jié)理系統(tǒng)或離散顆粒組合體在準靜態(tài)或動態(tài)條件下的變形過程。離散單元法不是建立在最小勢能變分原理上，而是建立在最基本的牛頓第二運動定律上。它以每個剛體的運動方程為基礎(chǔ)，建立描述整個破壞過程的顯式方程組后，通過動力松弛迭代求解。 ...
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